похоже это Вы запутались с терминологией. Web-контейнер - это только часть сервера приложений, который (сервер приложений) реализует весь стек JavaEE. Т.е. сервер приложений можно условно назвать "JavaEE Conainer", в котором реализованы какие-то контейнеры. Посмотрите описание и картинку
https://docs.oracle.com/javaee/5/tutorial/doc/bnabo.html

Ваш веб-контейнер (при классическом построении стандартного JavaEE-приложения, а не через сторонние фреймворки) по большому счету отвечает только за взаимодействие с клиентом через http (с браузером клиента) - это поддержка http-сессий с браузером, отдача всевозможных статических файлов, обработка и отдача JSP-страниц, обработка запросов к сервлетам и т.п. НО в сервлетах и JSP-страницах, при классическом подходе, никакой прикладной бизнес-логики быть не должно, никакой работы с базами данных и т.п. Вся бизнес-логика и работа с базами данных ложится на другой контейнер - EJB-контейнер (контейнер энтерпрайз бинов, всякие Stateless-, Statefull-, Message-driven бины которые используют всякие подсистемы маппинга объектов в базы данных, управления транзакциями и т.д.). Ваши сервлеты и JSP-страницы как раз должны дергать эти бины. Энтерпрайз-бины никто вам не мешает дернуть из "толстого" приложения, никак не связанным с вебом, не через http. На картинке это нарисовано отдельной стрелочкой. В этом случае ваш Web-контейнер вообще не будет задействован.