>>  Но хотелось бы помощи и с чего начать.
> Начать с чтения?
> failed: Permission denied

:) я глуп, но не настолько. Да, если установить полные права на файл /var/run/dovecot/stats-writer, то первая ошибка уходит, но это не решает проблемы и дальнейшая ошибка остается.
Права на файл root.dovecot, в настройках указал
service stats {
unix_listener stats-reader {
user = dovecot
group = dovecot
mode = 0660
}
unix_listener stats-writer {
user = dovecot
group = dovecot
mode = 0660
}
}
права на файл стали dovecot.dovecot, но ошибка "Permission denied" осталась после рестарта dovecot.
Может у кого есть рабочие конфиги - сравнить со своими.